Orthogonalsystem (Polynom)

Beschreibung

Mit dem Gewichtetes Funktionenskalarprodukt erhält man eine natürliche Bedingung, unter der zwei Polynome orthogonal sind. Wir können uns darauf ein Orthogonalsystem, d.h. eine Basis eines Polynomraums bestehend aus zueinander orthogonalen Polynomen konstruieren.

Definition

Eigenschaften

Konstruktion durch Gram-Schmidt

Ein Orthogonalsystem lässt sich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren leicht konstruieren:

Sei $\text{wink}\cdot ,\cdot$ ein Skalarprodukt in $Pol(\mathbb{R})$, $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $Pol(\mathbb{R})$ und $(p_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert durch $p_0=x_0,p_n:=x_n-{\sum }_{k=0,p_k\ne 0}^{n-1}\frac{\text{wink}{x}_n,p_k}{\Vert p_k{\Vert }^2}{p}_k$ so bezeichnen wir $(p_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ als Orthogonalsystem in $Pol(\mathbb{R})$.

Q: Gram-Schmidt-Verfahren A: (p_n := x_n - \sum_{k = 0, p_k \neq 0}^{n-1} \frac{\langle x_n, p_k \rangle}{\langle p_k, p_k\rangle} p_k)

Konstruktion durch 3-Term-Rekursion

Sei $\text{wink}\cdot ,\cdot$ ein Skalarprodukt auf $Pol(\mathbb{R})$, das $\text{wink}xp,q=\text{wink}p,xq$ erfüllt. (z.B. das Gewichtetes Funktionenskalarprodukt) und $\Vert \cdot \Vert$ seine induzierte Norm. Setze $x_n:=x^n$. Dann lässt sich das Gram-Schmidt-Verfahren zu folgendem vereinfachen:

Es lässt sich ein Orthogonalsystem durch die folgende 3-Schritt-Rekursion definieren: $p_0=1,p_1=x-{\beta }_0,p_{n+1}=(x-{\beta }_n)p_n-{\gamma }_n{p}_{n-1}$ mit ${\beta }_n=\frac{⟨x{p}_n,p_n⟩}{⟨p_n,p_n⟩},{\gamma }_n=\frac{⟨p_n,p_n⟩}{⟨p_{n-1},p_{n-1}⟩}$

Die resultierenden $p_n$ sind die gleichen wie die Ergebnisse des Gram-Schmidt-Verfahren der Vektoren $x_n=x^n$. Dafür benötigt dieser Algorithmus weniger Skalarproduktberechnungen (d.h. weniger Integrale) und ist damit i.A. effizienter.

Q: 3-Term-Rekursion A: $p_0=1,p_1=x-{\beta }_0,p_{n+1}=(x-{\beta }_n)p_n-{\gamma }_n{p}_{n-1}$ mit ${\beta }_n=\frac{⟨x{p}_n,p_n⟩}{⟨p_n,p_n⟩},{\gamma }_n=\frac{⟨p_n,p_n⟩}{⟨p_{n-1},p_{n-1}⟩}$

\newcommand{\R}{\mathbb R}