Fehlerabschätzungen bei Polynominterpolation

Beschreibung

Wir können Interpolation nutzen, um eine komplizierte differenzierbare Funktion durch einfacher zu handhabende Polynome zu approximieren. Dabei entsteht natürlich ein gewisser Fehler. Dieser wird hier abgeschätzt.

Definition

Sei $(x_k{)}_{k\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge in $[a,b]$ und $g\in C^{\infty }[a,b]$ eine Mehrfach Differenzierbare Funktion.

Bezeichne mit $p_n:=P[g|x_0,...,x_n]$ das Interpolationpolynom für die ersten $n$ Stützpunkte der Folge.

Dann gilt: $p_n={\sum }_{j=0}^n[g|x_0,...,x_j]{\omega }_j$ mit $[g|x_0,...,x_j]={\int }_{{\sum }^n}{g}^{(j)}\text{klam}{x}_0+{\sum }_{i=1}^j{s}_j(x_i-x0)ds$ wobei ${\omega }_k$ das Newtonsches Basispolynom ist.

Hat $g$ die Abschätzung $\Vert g^{(n)}{\Vert }_{\infty }\le Kn!R^n$ für ein $K$ und ein $R$ Dann gilt die Fehlerabschätzung: $\Vert g-p_n{\Vert }_{\infty }\le \frac{\Vert g^{(n+1)}{\Vert }_{\infty }}{(n+1)!}\Vert {\omega }_{n+1}{\Vert }_{\infty }\le K{R}^{n+1}(b-a{)}^{n+1}$ Für $R<(b-a)-1$ folgt die Konvergenz ${\lim }_{n\to \infty }\Vert g-p_n{\Vert }_{\infty }=0$

Eigenschaften

Genauigkeit der Approximation verbessern

Die Approximation von $g\in C^{\infty }[a,b]$ durch Interpolationspolynome $p_n$ hängt von der Wahl der $x_j$ ab. Bei äquidistanten $x_j$ wird ${\omega }_{n+1}$ nahe $a$ und $b$ groß. Man kann zeigen, dass für $a=-1$ und $b=1$ der Wert $\Vert {\omega }_{n+1}{\Vert }_{\infty }$ für die Wahl $x_j:=\cos \text{klam}\frac{2j+1}{2n+2}\pi$ minimal wird. Das sind genau die Nullstellen der Tschebyscheffpolynome.

Beweis: Wollen wir den Fehler von $\Vert g-p_n{\Vert }_{\infty }\le \frac{\Vert g^{(n+1)}{\Vert }_{\infty }}{(n+1)!}\Vert {\omega }_{n+1}{\Vert }_{\infty }$ minimieren, so müssen wir Stützpunkte $x_0,x_n$ wählen, sodass die Newtonsches Basispolynom $\Vert {\omega }_i{|}_{[a,b]}{\Vert }_{\infty }=\Vert {\prod }_{j=0}^n|x-x_j|{|}_{[a,b]}{\Vert }_{\infty }$ minimal wird. Wir suchen also ein Polynom mit Koeffizienten abhängig von $x_0,...,x_n$, dass auf einem Intervall minimal ist. Die Tschebyscheffpolynome erfüllen genau diese Eigenschaft. Die $x_0,...,x_n$ sind dann genau die Nullstellen des Polynoms.

\newcommand{\R}{\mathbb R}