Stabile Abbildung

Beschreibung

Wir untersuchen Abbildungen zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Wir beobachten, dass manche Funktionen eine gewisse Stabilität (安定性、あんていせい) in Bezug auf ähnliche Funktionen besitzen.

Die Stabilität resultiert aus der Verallgemeinerung der Morsetheorie.

Eine Funktion heißt stabil, wenn sie Links-Rechtsäquivalenz zu anderen Funktionen in der Nähe ist, sich also nicht topologisch von Funktionen in der Nähe unterscheidet.

Definition

Seien $f:N\to P$ eine glatte Abbildungen. $f$ wird stabil genannt, wenn es eine Umgebung $\mathcal{U}$ von $f$ in der Whitney-Topologie gibt, sodass für alle $g\in \mathcal{U}$ Automorphismen ${\varphi }_g,{\Phi }_g$ mit ${\varphi }_g\circ g\circ {\Phi }_g=f$

Charakterisierung als Offene Menge der Lie Gruppe

Die Diffeomorphismengruppe wirkt auf der Menge der glatten Funktionen durch $\mathcal{A}=\text{Diff}(N)\times \text{Diff}(P)\circlearrowright C^{\infty }(N,P),(\Phi ,\varphi )\cdot \varphi =\varphi \circ f\circ \Phi$ Man kann sich das als Lie Gruppe vorstellen, die auf der Mannigfaltigkeit $C^{\infty }(N,P)$ wirkt. Ein Satz aus der Lie-Gruppen Theorie besagt dann, dass $f$ stabil ist g.d.w $\mathcal{A}f$ ist eine offene Menge von $f$.

Das ist vielleicht kein schlechtes Bild davon, was Stabilität bedeutet.

Die folgenden beiden Kasten muss ich noch besser verstehen.

Definition

Für eine glatte einparameter Familie $g_t\in C^{\infty }(N,P)$ kann man definieren $\frac{d{g}_t}{dt}{|}_{t=0}\in \Gamma (f^{\ast }TP)$ durch $x\mapsto \frac{d}{dt}(g_t(x)){|}_{t=0}\in T_{f(x)}P$

Übung

Für $({\Phi }_t,{\varphi }_t)$ eine glatte Ein-parameter Familie von $Diff(N)\times Dif(P)$. Zeige, dass $\frac{d}{dt}({\varphi }_t\circ f\circ {\Phi }_t^{-1}){|}_{t=0}=-tf\left(\frac{d{\Phi }_t}{dt}{|}_{t=0}\right)+\omega f\left(\frac{d{\varphi }_t}{dt}{|}_{t=0}\right)\in \Gamma (i{d}_N^{\ast }TN)=\Gamma (TN)$

Eigenschaften

Lokale Stabilität

Ist eine Funktion stabil, dann ist sie auch eine Lokal stabile Abbildung.

Beispiele

Beispiel der Morsetheorie $x^3$

$x\mapsto x$ und $x\mapsto x^2$ sind stabil. Die Abbildung $\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^3$ (und höher) ist nicht stabil. Variiert man nämlich die Funktion um ein kleines Stück $x^3+\epsilon x$, so wird die Funktion qualitativ ganz anders. Das ist daran erkennbar, dass die Urbildmengen $f^{-1}(]-\infty ,0])$ topologisch unterschiedlich aussehen. Ein kritischer Punkt verwandelt sich in zwei kritische Punkte. Außerdem gibt es keine Abbildungen $\varphi ,\Phi$ wie oben, mit denen sich die Funktion zurückverwandeln ließe.

Aufgabe: Zeige, dass für $U=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times (\frac{1}{2},\infty )$, $id\in M(U)$ & alle $g\in M(U)$ sind diffeos. Folgere daraus, dass $id$ stabil ist.

Morsefunktion

Ist eine Funktion $M\to \mathbb{R}$ eine Morsefunktion, so ist sie stabil.