Morsefunktion

Beschreibung

Mit Morsefunktionen lässt sich die Topologie von Mannigfaltigkeiten dadurch untersuchen, wie Funktionen auf ihr wirken.

Definition

Eine glatte reellwertige Funktion $f:M\to \mathbb{R}$ auf einer Glatte Mannigfaltigkeit ist eine Morse-Funktion, wenn sie keine degenerierte kritische Punkte besitzt. Ein Punkt wird degeneriert genannt, wenn die Hessesche (Mannigfaltigkeit) nicht maximalen Rang hat.

Eigenschaften

Induziert eine Henkelzerlegung

Jede Morsefunktion $f:M\to \mathbb{R}$ induziert eine natürliche Henkelzerlegung $M={\bigcup }_{k=0}^m{M}_k$ mit $\varphi =M_{-1}\subseteq M_0\subseteq ...\subseteq M_m=M$ wobei $M_k$ aus $M_{k-1}$ durch das Anhängen von $k$-Henkeln hervorgeht. Dies wird als Henkelzerlegung bezeichnet.