Lokal stabile Abbildung

Beschreibung

Die lokal stabile Abbildung (auch lokal infinitesimal stabile Abbildung) ist eine weitere Verallgemeinerung der Stabile Abbildung und der Infinitesimal stabile Abbildung. Lokale Stabilität ist nützlich, da sie leicht zu prüfen ist.

Definition

Eine Funktion $f$ heißt lokal stabil, wenn sie folgende Bedingung erfüllt: $\Gamma (f^{\ast }TP{)}_S=tf(\Gamma (TN{)}_S)+\omega f(\Gamma (TP){)}_{\{y\}}$

Todo Vermutlich ist das $S$ eine endliche Menge aus $N$. Das sollte ich aber erstmal nachsehen.

Todo Übung Sei $f\in C^{\infty }(N,P),y\in P,S\subseteq f^{-1}(y)$ endlich. Zeige, dass die folgenden Abbildungen wohldefiniert sind. $tf:{\Gamma }_S(TN)\to {\Gamma }_S(f^{\ast }TP),[\xi ]\mapsto [tf(\xi )]$

$tf:{\Gamma }_y(TP)\to {\Gamma }_S(f^{\ast }TP),[\eta ]\mapsto [\omega f(\eta )]$

Lokale Charahterisierung

$f$ ist genau dann lokal stabil wenn $f$ lokal stabil von $S$ für alle $y\in {\Delta }_f$ und alle $S\subseteq f^{-1}(y)$ mit $|S|\le \dim P+1$.

Vielleicht bekomme die lokal stabile Abbildung ja daher ihren Namen.

Charakterisierung auf $C^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{R})$

Eine glatte Abbildung $f$ ist lokal stabil g.d.w. keine Diskriminante ein uneigentlicher Punkt oder ein Limit $y={\lim }_{x\in \infty }f(x),{\lim }_{x\in -\infty }f(x)$ ist.

Todo Zeige Charakterisierung

Sei $f\in C^{\infty (N,P),}y\in P,S\subseteq f^{-1}(y)$. $\Phi \in C^{\infty }(N,N^{\prime }),\varphi \in C^{\infty }(P,P^{\prime })$ diffeos. Zeige, dass folgendes Äquivalent ist. a) $f$ ist stabil/inf stabil/loc stabil b) $\varphi \circ f\circ {\Phi }^{-1}$ ist stabil/inf stabil/loc stabil

ToDo Zeige Charakterisierung

Sei $f\in C^{\infty (N,P),}y\in P,S\subseteq f^{-1}(y)$. Sei $U\subseteq N$ eine Umgebung von $S$. Zeige dass $f$ lokal stabil ist genau dann, wenn $f{|}_U$ lokal stabil in $S$ ist..

Eigenschaften

Begrenzte Urbilder

Ist $f$ lokal stabil, dann gilt für alle $y\in {\Delta }_f,\#(f^{-1}(y)\cap {\Sigma }_f)\le \dim P$.

Die Tangentenräume um $f^{-1}(y)$ werden ja durch eine Art Faltung in der Dimensionalität verkleinert. Die Idee ist hier vielleicht, dass die Kerne dieser Operation immer in einer gewissen Weise linear unabhängig sind. Eine Lokal stabile Funktion lässt also nur eine begrenzte Menge an Faltungen zu.