Kontakt (Glatte Abbildungen)

Beschreibung

Kontakt eine Familie von Äquivalenzrelationen, die beschreiben, wie ähnlich die Differentiale von zwei Funktionen sind. Es verallgemeinert die Intuition, dass zwei Funktionen ähnlich sind, wenn sie tangential sind oder die gleiche Steigung haben.

Definition

Zwei Funktionen $f,g$ haben Kontakt $0$-ten Grades $f{\sim }_{0,x}g$, g.d.w. $f(x)=g(x)$. Für ein $k\in \mathbb{N}$ haben $f,g$ Kontakt $k$-ten Grades $f{\sim }_{k,x}$ genau dann wenn $df{\sim }_{k-1,v}dg$ für alle $v\in T_x(X)$

Charakterisierung durch partielle Ableitung

Zwei Funktionen haben $k$-ten Kontakt g.d.w. alle $k$-ten partiellen Ableitungen gleich sind.

1. $f{\sim }_{k,x}g$
2. $\exists \varphi :U\to {\mathbb{R}}^n,\psi :V\to {\mathbb{R}}^p$ Karten um $x$, bzw. $f(x)$, sodass $\frac{{\partial }^{|\alpha |}(\psi \circ f\circ {\varphi }^{-1})}{\partial x^{\alpha }}=\frac{{\partial }^{|\alpha |}(\psi \circ g\circ {\varphi }^{-1})}{\partial x^{\alpha }}$ für alle $\alpha$: Multiindexnotation mit $|\alpha |\le k$

Beweis: Induktion anwenden.