Sliding Zykel

Beschreibung

Ein Sliding Zykel (engl. Sliding Circuit) ist eine Menge von Zöpfen, die unter dem Zyklisches Sliding in einer zyklischen Beziehung stehen.

Definition

Sei $x\in B_n$, sei $x^{B_n}$ dessen Konjugationsklasse. Die Menge des Sliding Zykels von $x$ ist definiert als $SC(x)=\{y\in x^{B_n}:\mathfrak{s}(y)=y\text{ fu¨r ein }m>0\}$

Das da hier, stinkt unglaublich verdächtig nach Agol Zykel. Es gibt genau die gleiche Periodizität. Das wirft schon die Frage auf, ob es vielleicht eine natürliche Verknüpfung zwischen bestimmten Zöpfen einer Konjugationsklasse und den Agol-Zykeln gibt. Ich gehe mal einige Ähnlichkeiten und Unterschiede und Unklarheiten durch:

• Es sind beides Konjugationsinvarianten
• Ich weiß nicht, ob die Länge die gleiche ist
• Agol Zykel sind nur für Pseudo-Anosovscher Zopf definiert, während Sliding Zykel auch für Reduzibler Zopf definierbar sind. Sind die Sliding Zykel Verallgemeinerungen? Oder gibt es eine unbekannte Verallgemeinerung von Zugstrecke? (Aufregend!)

Aus der oberen Definition beobachten wir, dass zwei Zöpfe $x,y$ genau dann konjugiert sind, wenn $SC(x)=SC(y)$. Das gilt genau dann, wenn $SC(x)\cap SC(y)\ne \varnothing$. Das kann genutzt werden, um das Konjugationproblem für Zöpfe zu lösen.