Zopfabschluss

Beschreibung

Verbindet man die Anfangs und Endstränge eines Zopfes, so erhält man eine Menge von Kreisen, die zusammen eine Verschlingung bilden.

Definition

Sei $\beta$ ein Zopf. Der Abschluss wird mit $\hat{\beta }$ bezeichnet.

Häufig interessiert man sich für die Verschlingung, eingebettet in $S^3$.

Eigenschaften

Satz von Alexander

Jede Verschlingung kann ist der Abschluss eines Zopfes (Siehe Satz von Alexander)

Reidemeister Bewegungen

Die Reidemeister Bewegung induzieren interessante Wirkungen auf dem Zopf.

• Typ I: In einen Faden wird eine Schlafe gedreht. Dadurch bekommt der Zopf einen zusätzlichen Faden.
• Typ II: Ein Faden wird über einen anderen Faden gezogen. Dies entspricht ${\sigma }_i{\sigma }_i^{-1}=1$
• Typ III: Ein Faden wird über eine Kreuzung gezogen. Dies entspricht ${\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}$

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