Geflochtene Verschlingung

Beschreibung

Es ist bekannt, dass der Zopfabschluss eine Verschlingung ist. Allerdings beobachten wie, dass die Verschlingung manchmal sehr langweilig sein kann. Betrachte zum Beispiel den Zopf mit zwei Strängen, die sich einmal kreuzen. Der Abschluss ist homöomorph zu $S^1$, da wir die beiden Stränge auseinanderziehen können. Daher fügen wir nun einen Kreis $A$ hinzu, der einmal horizontal um den Zopf geht und alle Stränge zusammenhält.

Definition

Sei $\beta$ ein Zopf. Die geflochtene Verschlingung wird mit $br(\beta )=\hat{\beta }\cup A$ bezeichnet.

Eigenschaften

Isomorphie zum Abbildungstorus

Sei $\beta$ ein Zopf. Dieser definiert eine Klasse von Hömomorphismen der Durchbohrte Kreisscheibe. Bezeichne mit $T_{\beta }$ den entsprechenden Abbildungstorus. Das ist das Innere $Int(T_{\beta })$ des Abbildungstorus homöomorph zu $S^3\backslash br(\beta )$.

Fundamentalgruppe

Aufgrund oberer Eigenschaft ist die Fundamentalgruppe isomorph zur Fundamentalgruppe des Abbildungstorus. Die Gruppe ist damit ein Produkt aus dem Torusquerschnitt $\pi (D_n)$ und der einfachen Umrundung $\mathbb{Z}$. Die genaue Art des Produkt ist vom Zopf abhängig. Die Fundamentalgruppe ist also ein Semidirektes Produkt. ${\pi }_1(S^3\backslash br(\beta ))\cong F_n{⋊}_{\beta }\mathbb{Z}$ Die Multiplikation innerhalb der Fundamentalgruppe ist gegeben durch $(f,t^p)(g,t^q)=(f{t}^{p}g{t}^{-p},t^{p+q})$ wobei $tg{t}^{-1}=g^{\beta }$ mit $g^{\beta }$ die Wirkung des Zopfes auf der Fundamentalgruppe $g$.

Was wir oben machen ist ganz einfach. Wir wenden erst das Element der Fundamentalgruppe $g$ an. Dann wenden wir $t^p$ an, d.h. wir laufen um den Torus. Dann wenden wir $h$ an und dan wenden wir $t^q$ an. Wenn wir aber $g$ und $h$ addieren wollen, müssen wir erst $h$, $p$-mal um den Torus zurückziehen. Oder so ähnlich. Ich bin etwas dadurch verwirrt, ob wir links oder rechts multiplizieren, deshalb könnte oberes auch falsch sein.

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