Zyklischer Zopf

Beschreibung

Wir bezeichnen einen Zopf als zyklisch, wenn die Permutation des Zopfes zyklisch ist, d.h. die Anfänge der Stränge am Ende zyklisch permutiert werden.

Wir nehmen oft o.E. ein, dass die Permutation die Form $(12...n)$ hat.

Eigenschaften

Existenz einer $k$-ten Drehzahl

Siehe Drehzahl Verschlingungszahl von $B^n$ Sei $B$ ein zyklischer Zopf mit Permutation $\tau$. Dann ist $B^n$ ein Reiner Zopf. Die Verschlingungszahl der Stränge $m$ und ${\tau }^k(m)$ ist $T{N}_k(B)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{T}_k(i)$ wobei $T_k$ die Verschlingungszahl zwischen den Strängen $i$ und ${\tau }^k(i)$ ist. Die obere Zahl ist nicht von $m$ anhängig.

Beweis: $B^n$ besteht aus $n$ Vorkommen von $B$. Verfolgt man den Strang $m$ und ${\tau }^k(m)$ wird aufgrund der zyklischen Natur jede Position genau einmal durchlaufen. Es reicht also die Verschlingungszahlen von $i$ und ${\tau }^k(i)$ für alle $i$ aufzuaddieren.

lit_misiurewiczTurningNumbersPeriodic2013