Zopferweiterung

Beschreibung

Irgendwie kann man die Nielsen-Thurston Klassifikation nutzen um eine Art Erweiterung auf Zöpfen zu definieren. Ich habe diesen Ansatz nicht ganz verstanden, daher definieren wir die Zopferweiterung in Schriftsprache.

Definition

Sei $B$ ein Zyklischer Zopf und $C$ ein Zopf. Die Erweiterung von $B$ durch $C$ ist definiert durch den Prozess: Ersetze jederch ein Band.an dem Band (immer wieder herunterspringend), so kommt man irgendwann am Anfang an. Auf dem Weg ist man ein langes Band abgelaufen. Über dieses lange Band breiten wir nun $C$ aus. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie man das machen kann aber alle Möglichkeiten sind zueinander konjugiert.

Eigenschaften

Drehzahlen

Sei $B$ ein Zyklischer Zopf mit $n$ Strängen, $C$ ein Zopf mit $r$ Strängen und sei $D$ eine Erweiterung von $B$ durch $C$. Ist $k$ teil gilt $T{N}_k(D)=T{N}_{k/n}[](Zopf.md)nstgilt$TN_{k}(D) = rTN_{k}(B)$.DesWeiterengiltf\ddot{u}rdie[[Exponentensumme(Zopf)]]:$es(D) = r^{2}es(B)+es(C)$