Beschreibung
Wenn wir mit pseudo-Anosovschen Zöpfen und ihren Zugstrecken arbeiten fällt uns auf, dass die Zugstrecke eine Konjugationsinvariante ist. Ferner ist sie unabhängig vom Einfügen von Volltwists. Dies impliziert, dass eine schwächere Definition von Zöpfen nützlich sein könnte. Wir definieren den Zopftyp als Zopf modulo der Volldrehung und seiner Konjugationsklasse.
Zopftypen finden häufig in periodischen Vorgängen Anwendung (wie dem n-Körper-Problem), wo sich Anfang und Ende um Volltwists unterscheiden können und die Startpositionen nicht natürlich festgelegt sind.
Definition
Sei die Braid group.Ihr Zentrum (Gruppe) wird durch eine Volldrehung generiert. Damit ist wohldefiniert. Für ein Element athca).md) wir dessen Konjugationsklasse als Zopftyp, symbolisch
Die Zopftypen bilden keine Gruppe. Wenn sie eine wären, dann könnte man sie aus und mit den Relationen kodieren, die die Zopftypen konjugationsinvariant machen. Wenn man aber das tut, bekommt man nur verschiedene Zöpfe heraus, obwohl es unendlich viele geben sollte.
Eigenschaften
Satz: Nielsen-Thurston-Klassifikation
Die Thurston-Nielsen-Klassifikation von Zopftypen ist wohldefiniert, da die Klassifikation eine Konjugationsinvariante ist und durch einen Volltwist nicht verändert wird.
Beispiele
Beispiel: Eulersche periodische Lösung
Die Lösung des -Körper-Problems, bei dem zwei Planeten um einen mittleren kreisen und sich die drei Planeten immer kollinear zueinander bewegen, ist durch den Zopftyp der Volldrehung (d.h. den trivialen Typ) charakterisiert.