Reduzibler Zopf

Beschreibung

Ein Zopf heißt reduzibel, wenn dessen induzierter Automorphismus von $D_n$ ein Reduzibler Homöomorphismus ist.

Charakterisierung

Ein Zopf $\alpha$ heißt reduzibel, wenn er eine Familie von disjunkten, nicht-degenerierten, einfachen von $D_n$ bis auf Isotopie erhält. (Nicht-degeneriert heißt, es enthält mindestens eine aber nicht alle Bohrungen)

Die erhaltenen Kurven werden als Reduktionskurven bezeichnet, da wir $D_n$ entlang diesen aufschneiden können und die Wirkung von $f$ auf diesen Flächen betrachten können. Interessant ist in dem Fall: Schneidet man eine Kurve aus, so ist das ausgeschnittene Stück und der Rest homöomorph zu einer einfacheren durchbohrten Kreisscheibe. Die Zöpfe auf diesen Scheiben werden dann auch einfacher.

Zentralisator

Sei $\alpha$ reduzibel. Die oben genannten reduziblen Kurven schließen Teile von $D_n$. $\alpha$ erhält das Innere der Kurven und wirkt daher Zopfartig auf Röhren, die durch die Kurven definiert sind. Innerhalb einer Röhre wirkt $\alpha$ auf die umfassten Punkte. Wir bezeichnen den Röhrenzopf als ${\alpha }_{ext}$ und Zöpfe im Inneren der Kurven als ${\alpha }_1$. Der Zentralisator ist dann ein Produkt: $Z(\alpha )\cong (Z({\alpha }_1)\times ...\times Z({\alpha }_t))⋊Z_0({\alpha }_{ext})$ wobei $Z_0({\alpha }_{ext})$ eine Untergruppe von $Z({\alpha }_{ext})$ ist.

Wurzeln

Sei $\alpha$ ein pseudo-anosov Zopf. Für $k\ne 0$ ist die $k$-te Wurzel, d.h. ein $\beta \in B_n$ sodass ${\beta }^k=\alpha$ eindeutig.

Beweis: Die Klassifikation wird unter Potenzen erhalten. Damit ist die Wurzel von $\alpha$ automatisch pseudo-anosovsch. Sie erhält zwei transversale Blätterungen. Die Potenz der Wurzel erhält die gleiche Blätterungen und so erhält die Wurzel die gleichen Blätterungen wie $\alpha$, jedoch mit einem anderen Skalierungsfaktor. Angenommen $\alpha$ hat zwei Wurzeln $\beta ,\gamma$. $\alpha \beta {\alpha }^{-1}{\beta }^{-1}$ erhält die gleichen Blätterungen und skaliert sie mit $1$. Damit ist $\alpha \beta {\alpha }^{-1}{\beta }^{-1}$ ein Periodischer Zopf und konjugiert zu $\delta$ oder $ϵ$. Dann kann man dan Beweis fortsetzen, um zu zeigen, dass die beiden Elemente gleich sind.

Beispiele

Positive Volldrehung

Die positive Volldrehung erhält jede Familie von geschlossenen Kurven.

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