Pseudo-Anosovscher Zopf

Beschreibung

Ein Zopf, dessen induzierter Automorphismus der Durchbohrte Kreisscheibe ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus ist, wird ebenfalls als Pseudo-Anosovsch bezeichnet.

Charakterisierung

Ein $3$-Zopf ist genau dann pseudo-Anosovsch, wenn es konjugiert zu einem Element der Form ${\Delta }^{2j}{\sigma }_1^{p_1}{\sigma }_2^{-q_1}...{\sigma }_1^{p_k}{\sigma }_2^{q_k}$ ist. Dabei ist $\Delta ={\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1$

Eigenschaften

Induziert transversale Blätterungen

Ist ein Zopf pseudo-ansovsch, so induziert er einen Automorphismus $f$. Dieser lässt die die Richtung zweier transversaler, singulärer, gemessene Blätterungen $({\mathcal{F}}_u,{\mu }_u)$ und $({\mathcal{F}}_s,{\mu }_s)$ von $D_n$ invariant und verdichtet sie auf folgender Weise (für ein $\lambda >1$):

• $f({\mathcal{F}}_u,{\mu }_u)=({\mathcal{F}}_u,\lambda {\mu }_u)$
• $f({\mathcal{F}}_s,{\mu }_s)=({\mathcal{F}}_s,{\lambda }^{-1}{\mu }_s)$

Diese Blätterungen sind sehr gut erkennbar, wenn wir eine Flüssigkeit in $D_n$ tun und beobachten, wie der Zopf darauf wirkt. Es entstehen Schlieren. Jede Anwendung zieht die Schlieren längs auseinander und drückt sie senkrecht zusammen.

Zentralisator

Der Zentralisator von $\alpha$ ist isomorph zu ${\mathbb{Z}}^2$. Ein Generator ist pseudo-anosovsch (üblicherweise eine Wurzel von $\alpha$, aber nicht immer). Der andere ist periodisch.

Beispiel

Einfachstes Beispiel

Der einfachste Zopf, der Pseudo-Anosov ist, ist ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$. Der Zopf erhält keine Bi-Ordnung von $F_n$

Beispiel: Zöpfe mit gleicher Dilatation

Die folgende Folge von Zöpfen ${\beta }_{n,d}$ wurde zur Lösung eines n-Körper-Problem angegeben. Diese Zöpfe sind pseudo-Anosov und haben eine Dilatation von $\lambda ({\beta }_{n,d})=({\varphi }_p{)}^2$. Die Dilatationen sind also nicht von $n$ anhängig. Der Grund ist, dass die oberen Zöpfe eine hohe Symmetrie aufweisen. Sie werden generiert durch eine $p$-Zweig-Überlagerung eines $3$-Knotens. Dies ist einfach zu beobachten, wenn wir den Quotientenraum, der Rotationssymetrie nehmen. Wir erhalten einen $3$-Zopf. Der Mittelpunkt $0$ wird zu einer $1$-zackigen Bohrung. Um den Quotienten rückgängig zu machen, nehmen wir einen Schnitt zwischen dem Mittelpunkt $0$ und $\infty$ und kleben $n$ Kopien der Scheibe zusammen.

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