Diverse Sätze zu Holomorphen Funktionen (Riemannsche Flächen)

Gebietstreue

Siehe Satz der Gebietstreue

Liouville

Siehe Satz von Liouville

Maximumsprinzip

Siehe Maximumsprinzip

Satz I

Es seien

• $X,Y$ Riemannsche Fläche
• $f:X\to Y$ Holomorph und nichtkonstant

Dann gibt es $k\in \mathbb{N}$, eine Karte $\phi :U_X\to V_X$ von $X$ mit $a\in U_X$ und $\phi (a)=0$ und eine Karte $\psi :U_Y\to V_Y$ von $Y$ um $b$ mit $f(U_X)\subseteq U_Y$ und $\psi (b)=0$, sodass

$\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}{|}_{V_X}:\begin{array}{rcl}{V}_X& \to & V_Y\\ z& \mapsto & z^k\end{array}$ gilt.