Schwarzsches Lemma

Definition

Sei $f:\mathbb{E}\to \mathbb{E}$ analytisch

Gilt $f(0)=0$ und $|f^{\prime }(0)\le 1|$, dann gilt $|f(z)|\le |z|$. Gilt $|f(w)|=|w|$ für ein $w\in \mathbb{E}$ oder $|f^{\prime }(0)|=1$, dann gibt es ein $\lambda \in \mathbb{R}$, sodass $f(z)=e^{i\lambda }z$ für alle $z\in \mathbb{E}$¹

vgl. Offener Einheitskreis

Footnotes

1. Zenk - Lemma 25.2.1 ↩