Rouche's theorem

Description

Der Satz von Rouché gibt Voraussetzungen, wann zwei analytischer Funktionen $f$ und $f+g$ im Inneren eines Weges gleich viele Nullstellen Nullstellen haben.

Definition

Sei $\varnothing \ne \subseteq \mathbb{C}$ offen, $f:U\to \mathbb{C}$ und $g:U\to \mathbb{C}$ analytisch, $\gamma :[0,1]\to U$ nullhomolog einfach mit $|g(z)|<|f(z)|$ für alle $z\in Spur(\gamma )$ Dann haben $f$ und $f+g$

1. auf $Spur(\gamma )$ keine Nullstellen und es gilt $\sum _{a\in \{z\in U:f(z)=0\}}n(\gamma ,a)\omega (f,a)=\sum _{a\in \{z\in U:(f+g)(z)=0\}}n(\gamma ,a)\omega (f+g,a)$
2. $f$ und $f+g$ haben gleich viele Nullstellen um Inneren von $\gamma$ - gezählt mit Vielfachheiten.

Proof: Man stelle sich vor man geht mit einem Hund spazieren. Man begegnet einem Baum, hält die Leine aber so kurz, dass der Hund den Baum nie erreichen kann. Dann kann der Hund den Baum nur umrunden, wenn man selbst den Baum umrundet.

Genauso verhält sich der Satz von Rouche. Sei der Baum der Ursprung von $\mathbb{C}$ und der Spaziergang dein Bildweg bezüglich $f(z)$, wobei $z$ eine einfache geschlossene Kurve $\Gamma$ durchläuft. Die komplexe Zahl von mir zum Hund ich $g(z)$ und die Position des Hundes ist damit $f(z)+g(z)$.

Die Forderung, dass die Leine nicht zum Baum reicht ist $|g(z)|<|f(z)|$ auf $\Gamma$ Nach oberer Schlussfolgerung hat der Hund $f(z)+g(z)$ die gleiche Umlaufszahl um $0$ wie du $f(z)$.

Nach dem Argumentprinzip muss somit die Anzahl an Nullstellen von $f(z)$ und $g(z)+f(z)$ in $\Gamma$ gleich sein.

Application

Counting zeroes

Rouche’s Theorem can be used to determine the number of zeros in some function $f$ in a region.

1. Find a decomposition $f=g+h$ where $|g(z)|<|h(z)|$ on a simple closed curve $\gamma$. Its best to make $h$ simple.
2. It follows that $f$ has the same number of zeroes as $h$ inside $\gamma$.
3. To find out the multiplicity assume that there are zeroes $w$ of multiplicity at least $2$. Then $f(w)=f^{\prime }(w)=0$ and it follows $f(w)-f^{\prime }(w)=0$. If the $w$ fulfilling this relation are zeroes of $f$ and $f^{\prime }$, then the zero has multiplicity at least $2$. Otherwise all zeroes are simple.

Count real and imaginary roots

In the last step we counted the number of zeroes of $f$ in a domain. We want to know the number of zeroes if we restrict to the reals. To find out, we simply use the intermediate theorem. All other zeroes will come in complex-conjugated pairs (assuming $f$ is a real polynomial or has a real Power series)