Natürlicher Rand

Beschreibungen

Manche Analytische Funktionen sin so definiert, dass sie sich nicht über einen bestimmten Rand fortsetzen lassen.

Diesen Rand nennt man dann Natürlicher Rand

Beispiel

Betrachte $f(z)=z+z^2+z^4+z^8$

$f(z)$ konvergiert nicht für $1$, $-1$, $e^{i\frac{\pi }{2}}$ oder generell für $e^{i\frac{\pi }{2^k}}$.

Auf dem Einheitskreis ist also jede Zahl entweder eine nicht-hebbare Isolierte Singularität oder in der Nähe einer solchen.

Dadurch ist es nicht möglich einen Konvergenzradius zu finden, der außerhalb des Kreises gelangt und nicht eine Singularität mit einschließt.