Vorlesung über Irreduzibiltätskriterien

Beschreibung

Diese Vorlesung hat mich irgendwie ausgelaugt. Ich schreibe alle Sätze hier hinein und passe deren Position zu gegebener Zeit an.

Folgerung 12.4

Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K$ sein Quotient field und $f\in K[x]$ ein Polynom mit $f\ne 0$. Dann gibt es ein $\alpha \in K^{\times }$, so dass $\alpha f$ in $R[x]$ liegt und primitiv ist.

Lemma 12.5 und Folgerung 12.6

Der Homomorphismus $phi:R[x]\to \bar{R}[x]$ gegeben durch ${\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i\mapsto {\sum }_{i=0}^n\pi (a_i)x_i$ induziert einen Isomorphismus $R[x]/\mathfrak{p}[x]\cong \bar{R}[x]$ von Ringen.

Das Ideal $\mathfrak{p}[x]$ ist ein Primideal in $R[x]$

Satz 12.8

Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K$ sein Quotient field und $f\in R[x]$ ein Polynom mit $grad(f)\ge 1$

1. Ist $g\in R[x]$ ein Primitive Polynomial mit der Eigenschaft, dass $g$ ein Teiler von $f$ in $K[x]$ ist, so ist $g$ bereits ein Teiler von $f$ in $R[x]$.
2. Ist $f$ irreduzibel in $R[x]$, dann auch in $K[x]$.

Satz 12.9

Ist $R$ ein Unique factorization domain, dann ist auch $R[x]$ faktoriell