Satz über Quotienten

\newcommand{\R}{\mathbb R}

Beschreibung

Definition

Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K$ sein Quotientenkörper und $f\in R[x]$ ein Polynom (Algebra) vom Grad $n\ge 1$. Sei $f=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$ mit $a_0,...,a_n\in R$

1. Ist $\alpha \in K$ eine Nullstelle von $f$, $\alpha =\frac{p}{q}\in R$ und $q\ne 0$, wobei $p$ und $q$ teilerfremd sind, dann gilt $q|a_n$ und $p|a_0$
2. Ist insbesondere $f$ normiert, dann liegt $\alpha$ in $R$ und ist ein Teiler von $a_0$