Reduktionskriterium

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Beschreibung

Das Reduktionskriterium gibt im engsten Sinne eine Möglichkeit, zu prüfen, ob eine Funktion irreduzibel ist. Im Allgemeineren hat dieses aber noch einen weiteren Anwendungsbereich.

Definition

Sei $R$ ein Faktorieller Ring, $p\in R$ ein Primelement und $\bar{R}=R\backslash (p)$. Es sei $f$ ein Primitives Polynom, dessen Leitterm $a_n\notin (p)$ und $\bar{f}$ das Bild von $f$ in $\bar{R}[x]$. Ist $\bar{f}$ in $\bar{R}[x]$ irreduzibel, dann auch das Polynom $f$ in $R[x]$.

Obacht, die Umkehrung gilt nicht!!!!!!!!

Beispiel

Zu zeigen: $f=x^4+x+1$ ist irreduzibel in $\mathbb{Z}[x]$ und $\text{Q}[x]$. Nach dem Reduktionskriterium genügt es zu zeigen, dass $f$ in ${\text{F}}_2[x]$ reduzibel ist. Dann folgt die Reduzibilität über $\mathbb{Z}$ und nach Gauß’schen Lemma auch über $\mathbb{Q}$. $f(\bar{0})=\bar{1}$, $f(\bar{1})=\bar{1}$ Ist $\bar{f}$ dennoch reduzibel, dann muss es eine Zerlegung in zwei irreduzible Polynome von Grad $2$ geben. $x^2+x+1$ ist das einzige irreduzible Polynom von Grad $2$ in ${\text{F}}_2[x]$. Dieses multipliziert sich aber nicht zu $f$!