Äußere Potenz

Beschreibung

Die Äußere Potenz ist das Fundamentale Objekt, über dem die Kovariante Graßmann-Algebra und das Keilprodukt definiert sind.

Definition

Definition von $I_{k}V$

Sei $I_{k}V$ wie bei Alternierende Multilineare Abbildung definiert.

Äußere Potenz

Die $k$-te äußere Potenz soll das Bild des Keilprodukt sein und das Keilprodukt zur größten Alternierende Multilineare Abbildung machen. Dazu definieren wir sie mit einem Quotientenraum (Lineare Algebra) ${\Lambda }_k(V)=T_k(V)/I_k(V)$

Multivektor

Ein Element aus ${\Lambda }_k(V)$ wird Multivektor oder $k$-Vektor genannt.

Simpler Vektor

Kann ein Element aus ${\Lambda }_k(V)$ als Keilprodukt geschrieben werden, nennt man es simpel

Charakterisierungen

Eigenschaften

Basis

Ist $(e_i:i\in I)$ eine Basis (Lineare Algebra) von $V$ und $I$ besitzt eine Totale Ordnung, so ist $(e_{i_1}\wedge ...e_{i_k}:i_1<...<i_k\in I)$ eine Basis von ${\Lambda }_{k}V$.

Die Basis sind also alle Möglichkeiten, $k$ Elemente aus der Basis von $V$ zu ziehen.

Dimension

Mit der oberen Basis erhalten wir für endlichdimensionale $V$ die Dimension für ${\Lambda }_{k}L$: $\dim {\Lambda }_{k}V=\left(\begin{array}{c}\dim V/k\end{array}\right)$

Beispiele

Äußere Potenz ${\Lambda }_{0}V$

Das ist ein Skalar aus dem Grundkörper von $V$

Äußere Potenz ${\Lambda }_{1}V$

Das ist ein Vektor aus $V$.