Quotient field

Description

The quotient field is the unique continuation of a Integral domain into a Körper.

Definition

Sei $R$ ein Integral domain. Ein Extension ring $K\supset R$ wird Quotientenkörper von $R$ genannt, wenn $K$ ein Körper ist und $K=\{a{b}^{-1}:a,b\in R,b\ne 0_R\}$ gilt.

Existence and Uniqueness

The Quotient field exists and is unique up to isomorphism.

Properties

Maps are generated by integral domain

The quotient field of an integral domain is not only unique. Every Ring homomorphism can be uniquely extended to the quotient field as well. Sei $R$ ein Integral domain und sei $K$ ein Quotient field von $R$ Ist $\varphi :R\to S$ ein Ringhomomorphismus, der nur $0_R$ auf $0_S$ abbildet, dann gibt es eine eindeutige Fortsetzung $\hat{\varphi }$ auf den Quotientenkörper $K$.

*Das bedeutet, $\hat{\varphi }:K\to S$ ist ein Ringhomomorphismus mit $\hat{\varphi }{|}_R=\varphi$ Ich verstehe nicht ganz, wie das funktoniert. Wie kann ich $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ fortsetzen?

Examples

Quadratic extension

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{r+s\sqrt{2}:r,s\in \mathbb{Q}\}$ ist ein Quotientenkörper von $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$