Galoisgruppe

Beschreibung

Ene Körpererweiterung $L|K$ wird Galois-Erweiterung genannt, wenn sie normal und seperabel ist. Die Gruppe $Gal(L|K)=Au{t}_K(L)$ heißt dann die Galoisgruppe der Erweiterung $L|K$.¹

Eigenschaften

Normalteiler

Sei $M$ ein Zwischenkörper von $L|K$ und $U=Gal(L|M)$ die zugehörige Untergruppe von $G=Gal(L|K)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Die Erweiterung $M|K$ ist normal
2. Die Untergruppe $U$ ist Normalteiler von $G$

In diesem Fall erhalten wir durch $\sigma \mapsto \sigma {|}_M$ eine Abbildung $G\to Gal(M|K)$ und diese induziert einen natürlichen Isomorphismus $G/U\cong Gal(M|K)$

Beispiele

Galoisgruppe von Wurzel 2, 3

Bestimme die Galoisgruppe von $\text{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$.

Es wurde bereits mal gezeigt $\text{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\text{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$. Finde das Minimalpolynom von $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. $(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})\to ((x-\sqrt{2}{)}^2-3)=x^2-2\sqrt{2}x+2-3=(x^2-1)-2\sqrt{2}x$ $\to (x^2-1{)}^2-8x^2=x^4-10x^2+1$

Man kann prüfen: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ bildet einen $4$-dimensionalen Vektorraum und $\text{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ hat damit den Erweiterungsgrad $4$. Das gefundene Polynom ist also wirklich das Minimalpolynom.

Das Minimalpolynom hat vier verschiedene Nullstellen. Damit gibt es vier Homomorphismen, einen für jedes Bild von $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Konkret:

• ${\varphi }_1(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
• ${\varphi }_2(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• ${\varphi }_3(\sqrt{2}+\sqrt{3})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
• ${\varphi }_4(\sqrt{2}+\sqrt{3})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Die Galoisgruppe von $f$ kann also nur die Zyklische Gruppe $C_4$ oder die Klein 4-Gruppe_Bild_1 $V_4$ sein. Es sollte nicht so schwer zu erkennen sein, dass ${\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3$ bei doppelter Hintereinanderausführung die Identität ergeben, was genau die Struktur von $V_4$ wiederspiegelt.

Folgerung ihrer Auflösbarkeit

Ist eine Galois-Gruppe $L|K$ auflösbar, d.h. es gibt eine Normalreihe für sie, dann gibt es wegen der Galois-Korrespondenz eine ähnliche Reihe von Körpererweiterungen: $K=K_0\subset K_1\subset ...\subset K_r=L$ wobei für alle $i$: $K_{i+1}$ eine Normale Erweiterung von $K_i$ mit Primzahlgrad ist. Merke, wie die Reihe hier antiton im Vergleich zur Normalreihe der Gruppen benannt wurde.

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 17.1 ↩