Galoisgruppe

Description

A Galois-extension is a normal and separable, meaning it corresponds to a polynomial and is “nice”. It is heavily used to extract information about the polynomial.

The idea is to look at the automorphism group which fixes a field. Then looking at the automorphism group which fixes a bigger field, we conclude that it must be a subgroup of the first.

Definition

Eine Field extension $L|K$ wird Galois-Erweiterung genannt, wenn sie normal und seperabel ist. Die Gruppe $Gal(L|K)=Au{t}_K(L)$ heißt dann die Galoisgruppe der Erweiterung $L|K$.

Properties

Normalteiler

Sei $M$ ein Zwischenkörper von $L|K$ und $U=Gal(L|M)$ die zugehörige Untergruppe von $G=Gal(L|K)$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Die Erweiterung $M|K$ ist normal
2. Die Untergruppe $U$ ist Normalteiler von $G$

In diesem Fall erhalten wir durch $\sigma \mapsto \sigma {|}_M$ eine Abbildung $G\to Gal(M|K)$ und diese induziert einen natürlichen Isomorphismus $G/U\cong Gal(M|K)$

Examples

Galoisgruppe von Wurzel 2, 3

Bestimme die Galoisgruppe von $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$.

Es wurde bereits mal gezeigt $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$. Finde das Minimal polynomial von $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. $(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})\to ((x-\sqrt{2}{)}^2-3)=x^2-2\sqrt{2}x+2-3=(x^2-1)-2\sqrt{2}x$ $\to (x^2-1{)}^2-8x^2=x^4-10x^2+1$

Man kann prüfen: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ bildet einen $4$-dimensionalen Vektorraum und $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ hat damit den Erweiterungsgrad $4$. Das gefundene Polynom ist also wirklich das Minimalpolynom.

Das Minimalpolynom hat vier verschiedene Nullstellen. Damit gibt es vier Homomorphismen, einen für jedes Bild von $\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Konkret:

• ${\varphi }_1(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}+\sqrt{3}$
• ${\varphi }_2(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}-\sqrt{3}$
• ${\varphi }_3(\sqrt{2}+\sqrt{3})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
• ${\varphi }_4(\sqrt{2}+\sqrt{3})=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Die Galoisgruppe von $f$ kann also nur die Zyklische Gruppe $C_4$ oder die Klein 4-Gruppe $V_4$ sein. Es sollte nicht so schwer zu erkennen sein, dass ${\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3$ bei doppelter Hintereinanderausführung die Identität ergeben, was genau die Struktur von $V_4$ wiederspiegelt.

Auflösbare Galois-Gruppen und lösbare Polynome

Ist eine Galois-Gruppe $L|K$ auflösbar, d.h. es gibt eine Normalreihe für sie, dann gibt es wegen der Galois-Korrespondenz eine ähnliche Reihe von Körpererweiterungen: $K=K_0\subset K_1\subset ...\subset K_r=L$ wobei für alle $i$: $K_{i+1}$ eine Normal extension von $K_i$ mit Primzahlgrad ist. Merke, wie die Reihe hier antiton im Vergleich zur Normalreihe der Gruppen benannt wurde.

Example

Galoisgruppe eines Polynoms

Example

Galoisgruppe endlicher Körper

Example

Galoisgruppe von Kreisteilungspolynomen

Example

Galoisgruppen von Polynomen vierten Grades

Example

Galoisgruppen von Polynomen vierten Grades