Galoisgruppe von Kreisteilungspolynomen

Beschreibung

Eigenschaften

Isomorph zu Produkt

Sei $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 2$ und $G=Gal(\text{Q}({\zeta }_n)|\text{Q})$

1. Für jedes $a\in Z$ mit $ggT(a,n)=1$ gibt es ein eindeutig bestimmtes Element ${\sigma }_a\in G$ definiert durch ${\sigma }_a({\zeta }_n)={\zeta }_n^a$
2. Es gibt einen Gruppenisomorphismus \begin{align} \phi_n: (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times &\to G \\ a + n\mathbb{Z} &\mapsto \sigma_a \end{align} für alle $a\in \mathbb{Z}$ mit $ggT(a,n)=1$

Allgemeiner Fall (Nicht Q)

Sei $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 2,K$ ein Körper der Charakteristik $0$, $L|K$ eine Körpererweiterung und ${\zeta }_n\in L$ eine primitive Einheitswurzel. Dann ist $K({\zeta }_n)|K$ eine Galois-Erweiterung und die Galoisgruppe ist isomorph zu einer Untergruppe von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$

Übungen

Checkliste Gerkmann

Aufgabe 1

Wie viele Zwischenkörper hat die Erweiterung $\text{Q}({\zeta }_{10})|\text{Q}$, wobei ${\zeta }_{10}$ eine primitive $10$-te Einheitswurzel bezeichnet?

Nach VL ist die Galoisgruppe isomorph zu $(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}{)}^{\times }=(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^{\times }(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}{)}^{\times }=(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})$ Damit hat er drei Zwischenkörper.

Siehe Prime Restklassengruppe.

\newcommand{\R}{\mathbb R}