\newcommand{\R}{\mathbb R}
Beschreibung
Die Galoisgruppe eines Polynoms ist die Gruppe der Körperautomorphismen im Zerfällungskörper von . Es handelt sich also einfach um eine Galoisgruppe
Definition
Sei ein Körper und ein nicht-konstantes Polynom, dessen irreduzible Faktoren alle separabel sind, und sei ein Zerfällungskörper von über . Dann bezeichnet man aus als die Galoisgruppe des Polynoms .1
Konventionen
Wenn man sagt, die Galoisgruppe von meint man für gewöhnlich die Erweiterung über dem kleinsten Körper, der alle Koeffizienten von enthält.
Eigenschaften
Sei ein Polynom mit oberer Definition und ein Zerfällungskörper von über . Seien die verschiedenen Nullstellen von in . Dann gibt es eine Einbettung (Gruppe) Das bedeutet jeder Automorphismus ist eine Permutation von Nullstellen.2
Beispiel
Zyklische Galoisgruppe
Die Galoisgruppe von ist zyklisch, und hat Ordnung .
Beweis: hat als Nullstellen die -ten Einheitswurzeln. Da prim ist, sind davon primitiv. Also alle außer . Sei eine Einheitswurzel, die nicht ist.
Ich möchte erst zeigen, dass irreduzibel ist. Aber das habe ich zum Glück schon in einer früheren Übung gezeigt. Damti gibt es einen eindeutigen -Homomorphismus für das Bild von auf jede andere der Wurzeln.
Diese Homomorphismen erfüllen offensichtlich die Eigenschaft, eine zyklische Gruppe zu sein. 3
Symmetrische Galoisgruppe
Polynome, deren Galoisgruppe die Symmetrische Gruppe ist, d.h. alle Poermutationen seiner Nullstellen ist relativ schwer zu finden. Polynome mit solcher Eigeschaft sind aber: Sei ein Irreduzibles Polynom über von Primzahlgrad , welches genau reelle Nullstellen hat, dann ist dessen Galoisgruppe .
Die Idee ist folgende: Sei eine der Nullstellen. EIndem man eine Nullstelle auf die nächste abbildet erhält man eine
Übungen
Checkliste Gerkmann
Sei ein Polynom, dessen Galoisgruppe zur -Elementigen Diedergruppe isomorph ist. Ist durch Radikale auflösbar?
hat den zyklischen Normalteiler , die Faktorgruppe ist isomorph zu . Beide sind auflösbar, also ist auflösbar und auflösbar.