Definition
Eine Körpererweiterung wird Galois-Erweiterung genannt, wenn sie normal und separabel ist. Die Gruppe heißt dann die Galoisgruppe der Erweiterung
Charakterisierung
ist genau dann eine Galois Erweiterung, wenn
- D.h. ist der Fixkörper von
Wobei ein Fixkörper ist.
Der unterste stellt die Rechenregel auf.
Eigenschaften
In einer Galoiserweiterung ist jeder -Homomorphismus ein -Automorphismus
Übungen
Checkliste Gerkmann
Aufgabe 1
Angenommen, ist eine endliche Galois-Erweiterung mit Zwischenkörper . Kann dann eine abelsche Gruppe sein?
soll normal sein. Da enthält, muss es auch die anderen Nullstellen seines Minimalpolynoms besitzen, also und Die Körper und sind Zwischenkörper von .
Es gibt einen Homomorphismus, der auf die anderen Nullstellen abbildet und einen, der auf abbildet.
Im Grunde bilden sind die drei Nullstellen wie in einer symmetrischen Gruppe vertauschbar, weshalb es keine kommutativen Automorphismen sind.
Aufgabe 2
Angenommen, wir wissen bereits, dass eine Galois-Gruppe isomorph zu od\mathbb{Z} zu ist, und wir haben zwei verschiedene echte Zwischenkörper in gefunden. Welcher Isomorphietyp ist dann der richtige? Und wieviele echte Zwischenkörper besitzt die Erweiterung dann tatsächlich? (richtige Antwort: 4)
hat nur eine echte Untergruppe, der zugehörige Körper hat also nur einen echten Zwischenkörper. Also muss die Galoisgruppe des Körpers isomorph zu sein. Diese hat Elemente. Echte Zwischenkörper haben Ordnung , sind also zyklisch und werden aus einem Einzigen Element erzeugt. In gibt es Elemente, die eine echte Untergruppe der Ordnung erzeugen. Jeweils zwei davon erzeugen die gleiche Untergruppe. Also gibt es nicht-triviale Untergruppen und damit echte Zwischenkörper.
Aufgabe 3
Wir betrachten auf den Nullstellen des Polynoms die Nummerierung . Aus welchen beiden Elementen besteht , ausfgefasse als Untergruppe von . Ein Automorphis muss Nullstellen aller irreduziblen Faktoren von auf ihre Konujigierten Elemente ab. Desweiteren sind sie durch die Bilder einer Nullstelle pro Irreduzibles Polynom eindeutig. Jede Automorphismus muss auf abbilden. Der Freiraum besteht darin auf abzubilden. Damit gibt es zwei Automorphismen. Einer ist die Identität und der andere vertauscht einfach und . Damit ist die Untergruppe von einfach .