Fundamentalsatz der Algebra

Beschreibung

Jedes Polynom zerfällt in Linearfaktoren mit Nullstellen in $\mathbb{C}$

Definition

Jedes nichtkonstante komplexe Polynom (Komplexe Analysis) $p:\begin{array}{rcl}\mathbb{C}& \to & \mathbb{C}\\ z& \mapsto & a_n{z}^n+...+a_{1}z+a_0\end{array}$ also mit $n\ge 1,c_n,...,c_1,c_0\in \mathbb{C}$ und $c_n\ne 0$ hat mindestens eine Nullstelle in $\mathbb{C}$

In dem Fall zerfällt es in eine Nullstelle und ein Restpolynom und das Polynom zerfällt induktiv in Linearfaktoren.

Beweis (Satz von Rouche): Der Fundamentalsatz kann mit dem Satz von Rouché ziemlich leicht bewiesen werden.

Sei ein Polynom $P(z)=z^n+A{z}^{n-1}+B{z}^{n-2}+\cdots +E$ Teile nun das Polynom auf in $P(z)=f(z)+g(z)=(z^n)+(A{z}^{n-1}+B{z}^{n-2}+\cdots +E)$.

Betrachte den Kreis mit Radius $|z|=1+|A|+|B|+\cdots +|E|$: Nach etwas Rechnung erhält man $f(z)>g(z)$ auf dem Rand des Kreises.

Nach dem Satz von Rouché müssen $f(z)=z^n$ und $f(z)+g(z)=P(z)$ die gleiche Zahl an Nullstellen haben.

Beweis (Fundamentalgruppe): Es ist möglich, die Fundamentalgruppe zu nutzen, um den Fundamentalsatz zu beweisen. Betrachte das komplexe Polynom $p(z)=z^n+a_1{z}^{n-1}+...+a_n$. Angenommen $p$ hat keine Nullstelle. Dann ist folgende Abbildung wohldefiniert: $f_r(s)=\frac{p(r{e}^{2\pi is})/p(r)}{|p(r{e}^{2\pi is})/p(r)|}$ Definiert eine geschlossene Kurve. Es ist außerdem eine Homotopie zur Zeit $r$, die homotop zur konstanten Funktion $f_0(s)$ ist. Wir definieren nun eine Homotopie von $p(z)$ zu einer einfacheren Funktion. $p_t(z)=z^n+t(a_1{z}^{n-1}+...+a_n)$ Ersetzt man in der Definition für $f_r(s)$ das $p$ durch $p_t$ erhält man eine neue Homotopie zu der Funktion ${\omega }_n(s)=e^{2\pi ins}$. Diese geht $n$ mal um den Kreis. Da wir aber eben zeigten, dass $f_r$ nullhomotop ist, muss $n=0$ sein, also $p$ ist eine konstante.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002